三平方の定理 文章題（中3-高校入試）
・解説動画
【問題】
図のような台形 ABCDがある。AD＝4cm、BC=12cm、∠ADC＝90°、∠DAC＝60°、AD//BCであり、線分 ACと線分 BDの交点を E とする。
（１）角ACBの大きさを求めなさい
（２）線分BDの長さを求めなさい
（３）三角形EBCの面積を考えなさい
（１）角ACBの大きさを求めなさい
問題文にもあるとおり、ADとBCは平行線となっていますから、角ACBと角DACの錯角は等しい。同じ角度であることがわかります。
ここで詳しくは扱いませんが、平行関係の場合、錯角は等しくなるものなんでした。
∠DACが60°なので、∠ACBもそのまま60°であることがわかります。
答：60°
（２）線分BDの長さを求めなさい
【考え方】
線分BDの長さを求めるには、今以上に何がわかればよいでしょうか。
現在わかっているのは、
- ∠BCDの大きさ
- 線分BCの長さ、そして
- 線分ADの長さ
です。
∠BCDの大きさについては、∠ACBが60°、そして三角形の内角の和＝180°から、∠ACDが30°。
ここから∠BCD＝90°であることがわかります。
そして、∠BCDの大きさが90°なので、三角形BCDは「直角三角形」であることがわかりました。ということは、線分CDの大きさがわかれば三平方の定理から線分BDの大きさもわかります。
【CDの長さを求める】
60°の角を持つ直角三角形の場合、3辺の長さの比は１：2：√3。
すなわち、三角形ACDの場合、ADの長さの比が「１」、CDの長さの比が「√３」、ACの長さの比が「２」となります。
【ポイント】
なお、60度に対応するのが√3なのか２なのか忘れてしまった、そんな場合覚えておくとよいポイントがあります。
それは、
「角の大きさと向かい合う辺の大きさは対応する」
ということ。
今回の三角形ACDの場合、60°と向かい合う線分CDの比が√３、90°と向かい合う線分ACの比が２、30°と向かい合う線分ADの比が１となっていることがわかります。
問題に戻って、CDの長さを求めましょう。
三角形ACDは60°の角を持つ直角三角形なので、AD：CD＝1：√３。
問題文より線分ADの長さは４ですから、よって４：CD＝1：√３。比の計算を行って、CD＝4√３
比の計算の復習をすると、内側同士、外側同士をかけて「＝」で結ぶんでした。
今回の４：CD＝1：√３の場合、内側がCD×１、外側が４×√３、よってCD×１＝4×√３
CD＝4√3
これでCD＝4√３ということがわかりました。
あとは三平方の定理より、
BD^2 ＝CD^2 ＋ BC^2、
すなわち
BD^2＝4√3^2 ＋12^2
＝48＋144 、BC＝8√3
答：BC＝8√3
（３）三角形EBCの面積を考えなさい
【考え方】
こちらも考え方を確認しておきましょう。
三角形EBCの大きさを求めるには、今以上に何がわかればよいでしょうか。
現在わかっていることから使えそうなのは、
- 線分BCの長さ＝12
- 線分CDの長さ＝4√3。
あと、1）の問題がヒントになっていますが、
- 三角形EBCと三角形EDAが相似
です。
ということは、点Eから線分BCへと下ろした垂線とBCの交点を点Pとすると、EPの長さがわかれば、三角形EBCの大きさがわかることになります。
で、三角形EBCと三角形EDAは相似なので、点Eから線分ADへと下ろした垂線とADの交点を点Qとすると、
BC：DA＝EP：EQ
3:1＝EP：EQ
ということで、EPとEQの比がわかりました。あとはCDの長さがわかっているので、
EP ＝3 / 1＋3 × 4√3 ＝3√3
従って三角形EBCの大きさは、
1/2 × BC × EP
＝ 1/2 ×12 × 3√3
＝18√3
答：18√3
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