三平方の定理 文章題難問(中3-高校入試)

中学数学

三平方の定理 文章題(中3-高校入試)

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中3「三平方の定理 文章題難問」(数学:高校入試レベル)

【問題】

図のような台形 ABCDがある。AD=4cm、BC=12cm、∠ADC=90°、∠DAC=60°、AD//BCであり、線分 ACと線分 BDの交点を E とする。

(1)角ACBの大きさを求めなさい

(2)線分BDの長さを求めなさい

(3)三角形EBCの面積を考えなさい

 

(1)角ACBの大きさを求めなさい

問題文にもあるとおり、ADとBCは平行線となっていますから、角ACBと角DACの錯角は等しい。同じ角度であることがわかります。

ここで詳しくは扱いませんが、平行関係の場合、錯角は等しくなるものなんでした。

 

∠DACが60°なので、∠ACBもそのまま60°であることがわかります。

答:60°

 

 

(2)線分BDの長さを求めなさい

【考え方】

線分BDの長さを求めるには、今以上に何がわかればよいでしょうか。

現在わかっているのは、

  • ∠BCDの大きさ
  • 線分BCの長さ、そして
  • 線分ADの長さ

です。

∠BCDの大きさについては、∠ACBが60°、そして三角形の内角の和=180°から、∠ACDが30°。

ここから∠BCD=90°であることがわかります。

 

そして、∠BCDの大きさが90°なので、三角形BCDは「直角三角形」であることがわかりました。ということは、線分CDの大きさがわかれば三平方の定理から線分BDの大きさもわかります。

 

【CDの長さを求める】

60°の角を持つ直角三角形の場合、3辺の長さの比は1:2:√3。

すなわち、三角形ACDの場合、ADの長さの比が「1」、CDの長さの比が「√3」、ACの長さの比が「2」となります。

 

【ポイント】

なお、60度に対応するのが√3なのか2なのか忘れてしまった、そんな場合覚えておくとよいポイントがあります。

それは、

「角の大きさと向かい合う辺の大きさは対応する」

ということ。

今回の三角形ACDの場合、60°と向かい合う線分CDの比が√3、90°と向かい合う線分ACの比が2、30°と向かい合う線分ADの比が1となっていることがわかります。

 

問題に戻って、CDの長さを求めましょう。

三角形ACDは60°の角を持つ直角三角形なので、AD:CD=1:√3。

問題文より線分ADの長さは4ですから、よって4:CD=1:√3。比の計算を行って、CD=4√3

比の計算の復習をすると、内側同士、外側同士をかけて「=」で結ぶんでした。

 

今回の4:CD=1:√3の場合、内側がCD×1、外側が4×√3、よってCD×1=4×√3
CD=4√3

これでCD=4√3ということがわかりました。

あとは三平方の定理より、

BD^2 =CD^2 + BC^2、

すなわち

BD^2=4√3^2 +12^2

=48+144 、BC=8√3

 

答:BC=8√3

 

 

(3)三角形EBCの面積を考えなさい

【考え方】

こちらも考え方を確認しておきましょう。

三角形EBCの大きさを求めるには、今以上に何がわかればよいでしょうか。

現在わかっていることから使えそうなのは、

  • 線分BCの長さ=12
  • 線分CDの長さ=4√3。

あと、1)の問題がヒントになっていますが、

  • 三角形EBCと三角形EDAが相似

です。

 

ということは、点Eから線分BCへと下ろした垂線とBCの交点を点Pとすると、EPの長さがわかれば、三角形EBCの大きさがわかることになります。

で、三角形EBCと三角形EDAは相似なので、点Eから線分ADへと下ろした垂線とADの交点を点Qとすると、

BC:DA=EP:EQ
3:1=EP:EQ

ということで、EPとEQの比がわかりました。あとはCDの長さがわかっているので、

EP =3 / 1+3 × 4√3 =3√3

従って三角形EBCの大きさは、

1/2 × BC × EP
= 1/2 ×12 × 3√3
=18√3

答:18√3

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